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usdt自动充提教程网(www.6allbet.com):微积分的气力:天下被一个神秘的数学分支彻底改变了

admin2021-01-2655

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【编者按】

微积分是人类历史上的伟大头脑成就之一,也是数学领域不能或缺的一个主要分支。而我们应该知道的事实是:若是没有微积分,人类就不能能发现电视、微波炉、移动电话、GPS、激光视力矫正手术、孕妇超声检查,也不能能发现冥王星、破解人类基因组、治疗艾滋病,以及弄明了若何把5000首歌曲装进口袋里。

在人类文明历程中的这些具有里程碑意义的发现和发现背后,微积分事实饰演了什么样的角色?围绕曲线之谜、运动之谜和转变之谜,毕达哥拉斯、阿基米德、伽利略、开普勒、牛顿、莱布尼茨、爱因斯坦、薛定谔等若何用微积分的“钥匙”打开了宇宙隐秘之“锁”?这些谜题的解决方案又对人类文明的历程和我们的一样平常生涯发生了什么样的深远影响?

在《微积分的气力》一书中,应用数学家斯托加茨用一种“讲故事”和“看展览”的方式讲述微积分,“我们不必为了明白微积分的主要性而学习若何做运算,就像我们不必为了享用美食而学习若何做佳肴一样。”本文摘编自该书弁言,由汹涌新闻经中信出书团体授权公布。

没有微积分,我们就不会拥有手机、盘算机和微波炉,也不会拥有收音机、电视、为孕妇做的超声检查,以及为迷路的旅行者导航的GPS(全球定位系统)。我们更无法盘据原子、破解人类基因组或者将宇航员送上月球,甚至有可能无缘于《自力宣言》。

有一种罕有而有趣的历史看法以为,天下被一个神秘的数学分支彻底改变了。一个最初与形状相关的理论,最终又若何重塑了文明?

我们可以从物理学家理查德·费曼的一句趣话中洞见这个问题的谜底,这句话是他在与小说家赫尔曼·沃克讨论曼哈顿设计时说的。那时沃克正在为他设计写作的一部关于“二战”的长篇小说做调研,他去加州理工学院采访了介入过原子弹研发的物理学家,费曼就是其中之一。采访竣事临别之际,费曼问沃克是否领会微积分。沃克坦承他并不领会,于是费曼说道:“你最好学学微积分,它是天主的语言。”

宇宙是高度数学化的,但缘故原由尚无人知晓。这或许是包罗我们在内的宇宙的唯一可行的存在方式,由于非数学化的宇宙无法呵护能够提出这个问题的智慧生命。无论若何,一个神秘且难以想象的事实是,我们的宇宙遵照的自然律最终总能用微积分的语言和微分方程的形式表达出来。这类方程能形貌某个事物在这一刻和在下一刻之间的差异,或者某个事物在这一点和在与该点无限靠近的下一个点之间的差异。只管细节会随着我们探讨的具体内容而有所差别,但自然律的结构总是相同的。这个令人惊叹的说法也可以表述为,似乎存在着某种类似宇宙密码的器械,即一个能让万物时时到处一直转变的操作系统。微积分行使了这种规则,并将其表述出来。

艾萨克·牛顿是最早望见这一宇宙隐秘的人。他发现行星的轨道、潮汐的韵律和炮弹的弹道都可以用一组微分方程来形貌、注释和展望。现在,我们把这些方程称为牛顿运动定律和万有引力定律。自牛顿以来,每当有新的宇宙隐秘被揭开,我们就会发现同样的模式一直有用。从古老的土、空气、火和水元素到新近的电子、夸克、黑洞和超弦,宇宙中所有无生命的器械都遵从微分方程的规则。我敢赌博,这就是费曼说“微积分是天主的语言”时想要表达的意思。若是有什么器械称得上宇宙的隐秘,那么非微积分莫属。

人类在不经意间发现了这种新鲜的语言(先是在几何学的隐秘角落里,厥后是在宇宙密码中),然后学会熟练地运用它,并破译了它的习语和玄妙之处,最终行使它的展望能力去重构天下。

这是本书的中央论点。

若是这个论点是准确的,那么它意味着关于生命、宇宙和万物的最终问题的谜底并不是42,为此我要向道格拉斯·亚当斯和《银河系周游指南》的粉丝致歉。但“深思”(《银河系周游指南》中的一台超级盘算机)的解题思绪是准确的,由于宇宙的隐秘确实是一系列数学问题。

写给每个人的微积分读物

费曼的那句趣话“微积分是天主的语言”,引出了许多深奥的问题。什么是微积分?人类若何断定它是天主的语言(或者说,宇宙基于这种语言在运转)?什么是微分方程?在牛顿的时代和我们的时代,微分方程为天下带来了什么?最后,这些故事和看法若何能被有趣且清晰易懂地转达给像赫尔曼·沃克那样的友善读者呢,他们勤于思考、充满好奇心、知识渊博但险些没有学过高等数学?

沃克在他与费曼邂逅故事的末端部门写道,他在14年里始终没有抽出时间学习微积分。他的关于“二战”的长篇小说从原设计的一部变成了两部——《战争风云》和《战争与回忆》,每部都长达1000页左右。在完成这两部小说后,他试图通过阅读像《微积分一点通》这样的书自学微积分,但效果并不好。他翻阅了几本教科书,用他自己的话说,就是希望“遇到一本合适的书,它可以辅助像我这样对数学险些一无所知的人。我在青少年时期发生了探寻存在之意义的渴求,大学时代就只学习了文学与哲学等人文学科,以是我并不知道别人口中艰涩、无趣、毫无用处的微积分竟然是天主的语言”。在发现自己看不懂教科书之后,他聘请了一位以色列的数学家教,希望能随着他学点儿微积分,顺便提升一下希伯来语口语水平,但这两个愿望都落空了。最后,绝望的他旁听了高中的微积分课程,但由于进度落伍太多,几个月后他不得不放弃。在他走出课堂时,孩子们一起为他拍手,他说这就像对一场可怜的演出报以同情的掌声。

我之以是写作本书,就是为了让每个人都能领会关于微积分的最精彩的头脑和故事。我们没需要接纳赫尔曼·沃克的方式去学习人类历史上这个具有里程碑意义的学科,只管微积分是人类最具启示性的团体成就之一。我们不必为了明白微积分的主要性而学习若何做运算,就像我们不必为了享用美食而学习若何做佳肴一样。我将借助图片、隐喻和趣闻逸事等,实验注释我们需要领会的一切。我也会给你们先容有史以来最细腻的一些方程和证实,就像我们在观光画廊的时刻不会错过其中的代表作一样。至于赫尔曼·沃克,在我写作本书的时刻,他已经103 岁了。我不知道他有没有学会微积分,若是还没有,这本书就很适合沃克先生。

由微积分主宰的天下

现在你应该很清晰,我将从应用数学家的角度讲述微积分的故事和主要性。而数学史家则会选择差别的角度,纯粹数学家亦然。作为一名应用数学家,真正吸引我的是我们周围的现实天下和我们头脑中的理想天下之间的相互作用。外界的征象指导着我们提出数学问题;反过来,我们的数学想象有时也会预言现实天下中的事情。当这一切真正发生时,将会发生难以想象的效果。

要想成为一位应用数学家,既要有外向型头脑,又要有渊博的知识。对我们这个领域的人来说,数学并不是一个由自我拥护的定理和证实组成的原始、封锁的天下。我们会欣然接受林林总总的学科:哲学,政治学,科学,历史,医学,等等。以是,我想给人人讲述的故事是:由微积分主宰的天下。

这是一种比以往更宽泛的微积分观,包罗了数学和相邻学科中的许多分支,它们要么是微积分的“表兄弟”,要么是微积分的“副产品”。由于这种“大帐篷”观是非通例的,以是我要确保它不会造成任何混淆。好比,我在前文中说过,若是没有微积分,我们就不会拥有电脑和手机等,我的意思固然不是说微积分自己缔造了所有这些事业。事实远非云云,科学和手艺是必不能少的同伴,或者可以说是这出大戏的主角。我只想说,只管微积分往往饰演的是配角,但也为塑造我们今天的天下做出了主要孝敬。

以无线通信的生长史为例。它最先于迈克尔·法拉第和安德烈·玛丽·安培等科学家发现的电磁定律,若是没有他们的考察和频频修正,那些关于磁体、电流及其不能见力场的主要事实将仍不为人所知,无线通信的可能性也永远无法实现。以是,实验物理学在这里显然起到了不能或缺的作用。

然则,微积分同样很主要。19世纪60年代,一位名叫詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的苏格兰数学物理学家,将电磁场的基本实验定律改写为一种可举行微积分运算的符号形式。经由一番变换,他得到了一个毫无意义的方程,显然有某种器械缺失了。麦克斯韦嫌疑安培定律是罪魁祸首,并实验修正它,于是他在自己的方程中加入了一个新项——可以化解矛盾的设想电流,然后又行使微积分做了一番运算。这次他得到了一个合理的效果——一个简练的颠簸方程,它与形貌池塘中涟漪扩散的方程很像。只不外麦克斯韦方程还预言了一种新波的存在,这种波是由相互作用的电场和磁场发生的。一个转变的电场会发生一个转变的磁场,一个转变的磁场又会发生一个转变的电场,以此类推,每个场都市指导另一个场向前运动,一起以行波的形式向外通报能量。当麦克斯韦盘算这种波的速率时,他发现它是以光速运动的,这绝对是历史上最令人惊喜的时刻之一。因此,他不仅行使微积分展望出电磁波的存在,还解开了一个古老的谜题:光的性子是什么?他意识到,光就是一种电磁波。

麦克斯韦的电磁波展望促使海因里希·赫兹在1887年做了一项实验,从而证实了电磁波的存在。10年后,尼古拉·特斯拉制作了第一个无线电通信系统;又过了5年,伽利尔摩·马可尼发送了第一份跨越大西洋的无线电报。接下来,电视、手机和其他装备也陆续泛起了。

显然,微积分不能能自力做到这一切。但同样显而易见的是,若是没有微积分,这一切就不会发生。或者更准确地说,即时有可能,也要良久之后才会实现。

微积分不只是一种语言

麦克斯韦的故事展现了一个我们将会频频看到的主题。人们常说数学是科学的语言,这是异常有原理的。在电磁波的例子中,对麦克斯韦而言,将他在实验中发现的定律转化为用微积分语言表述的方程,这是至关主要的第一步。

然则,用语言来类比微积分的做法并不周全。微积分和其他数学形式一样,不仅是一种语言,照样一个异常壮大的推理系统。依据某些规则举行种种符号运算,微积分可以辅助我们实现方程之间的转换。这些规则有扎实的逻辑基本,只管看上去我们只是在随机变换符号的位置, 但实际上我们是在构建逻辑推理的长链。随机变换符号的位置是有用的简化手段,也是构建人脑无法处置的重大论证历程的简捷方式。

若是我们足够幸运和娴熟,能以准确的方式举行方程变换,就可以展现这些方程的隐藏寄义。对数学家来说,这个历程险些是易于察觉的,就似乎我们在操控着方程,给它们做推拿,勉力让它们放松下来,最后洞悉它们的隐秘。我们希望它们能敞开心扉,跟我们攀谈。

这个历程离不开缔造力,由于我们通常不清晰应该举行哪些操作。在麦克斯韦的例子中,他可以选择的方程变换方式有无数种,只管所有方式都合乎逻辑,但其中只有一部门能展现出科学真相。由于麦克斯韦基本不知道自己要寻找什么,除了毫无逻辑的语言(或者符号)之外,他从方程中很可能什么效果也得不到。但幸运的是,这些方程简直含有待展现的隐秘。在适当的刺激下,它们“吐露出”颠簸方程。

此时,微积分的语言功效再次掌控了主导权。当麦克斯韦将他的抽象符号转换回现实时,它们做出了展望:作为一种不能见的行波,电和磁能一起以光速流传。在接下来的几十年里,这一发现改变了天下。

不合理的有用性

微积分竟然能云云精彩地模拟大自然,这实在是太新鲜了,究竟它们属于两个差别的领域。微积分是一个由符号和逻辑组成的想象领域, 大自然则是一个由力和征象组成的现实领域。但不知为何,若是从现实到符号的转换足够巧妙,微积分的逻辑就可以行使现实天下的一个真理天生另一个真理,即输入一个真理,然后输出另一个真理。我们先要有一个被履历证实为真和用符号表述(就像麦克斯韦对电磁定律的改写一样)的真理,然后举行准确的逻辑操作,最后得出另一个履历真理,这个真理有可能是新的,是从没有人知道的关于宇宙的事实(好比电磁波的存在)。就这样,微积分让我们放眼未来,展望未知。正由于云云,它成了壮大的科技工具。

然则,为什么宇宙要遵照种种逻辑,甚至包罗细微的人类也能发现的那种逻辑呢?当爱因斯坦写下“天下的永恒之谜在于它的可明白性”时,让他惊叹不已的正是这个问题;当尤金·维格纳在论文《论数学在自然科学中的不合理的有用性》中写下“数学语言在表述物理定律方面的适当性是一个事业,是一份我们既不明白也不配拥有的巧妙礼物”时,他想要表达的也是这个意思。

这种敬畏感可追溯至数学形成时期。相传公元前550年左右,当毕达哥拉斯及其信徒发现音乐由整数比支配时,他就发生了这种感受。想象一下,你在弹拨一根吉他弦,当弦振动时,它会发出某个音调。现在,把你的手指放在正好位于弦中心的品质上,再拨一次弦。这时弦的振动部门只有最初长度的一半,即1/2,而它发出的音调正好比最初的音调高八度(指在 do-re-mi-fa-sol-la-ti-do的音阶中,从一个do到下一个do的音程)。若是弦的振动部门是最初长度的2/3,那么它发出的音调会比最初的音调高五度(从do到sol的音程,好比《星球大战》主题曲的前两个音调)。若是弦的振动部门是最初长度的3/4,那么它发出的音调会比最初的音调高四度(《婚礼举行曲》的前两个音调之间的音程)。古希腊音乐家领会八度、四度和五度的旋律观点,而且以为它们很美妙。音乐(现实天下的协调)与数字(想象天下的协调)之间的这种出人意料的联系,引领毕达哥拉斯学派形成了“万物皆数”的神秘信心。听说他们始终以为,纵然是在轨道上运行的行星也会演奏音乐——天体之音。

今后,历史上许多伟大的数学家和科学家都染上了“毕达哥拉斯热”。天文学家约翰尼斯·开普勒尤为严重,物理学家保罗·狄拉克亦然。我们将会看到,“万物皆数”的信心驱使他们去探寻、想象和追求宇宙的协调,并最终推动他们取得了改变天下的发现。

无限原则

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为了辅助你明白我们讨论的偏向,我先说一下什么是微积分,它想要什么,以及它与其他数学学科的区别。幸运的是,有一个远大而优美的理念将贯串这个话题的始终。一旦我们领会了这个理念,微积分的结构就可以被看作统一主题之下的变体。

遗憾的是,大多数微积分课程都将这个主题埋藏在大量的公式、步骤和盘算技巧之中。仔细想来,只管它是微积分文化的一部门,而且险些每位专家都知道它,但我从未见过它在那里被说明。我们不妨把它叫作“无限原则”,无论是在观点上照样历史上,它都市像指导微积分自己的生长那样指引我们的讨论历程。虽然此时此刻它听起来似乎胡言乱语,但通过我们一步步地探索微积分想要什么及其若何实现所想,明白无限原则将变得越来越容易。

简言之,微积分就是想让重大的难题简朴化,它十分痴迷于简朴性。这可能会让你感应惊讶,由于微积分向来以重大性着称。而且,不能否认的是,一些权威的微积分教科书的篇幅都跨越1000页,重得像砖头一样。然则,我们不要急着做判断或下结论。微积分无法改变自己的样子,它的重大粗笨是不能避免的。它看起来重大,是由于它要想法解决重大的问题。事实上,它已经处置和解决了人类有史以来面临的一些最难题和最主要的问题。

微积分乐成的方式是,把重大的问题剖析成多个更简朴的部门。固然,这种计谋并不是微积分独占的。所有善于解决问题的人都知道,当难题被剖析后,就会变得更容易解决。微积分真正与众差别和标新立异的做法在于,它把这种分而治之的计谋施展到了极致,也就是无限的水平。它不是把一个大问题切分成有限的几小块,而是无休无止地切分下去,直到这个问题被切分成无限多个最细小而且可以想象的部门。之后,它会逐一解决所有细小的问题,这些问题通常要比谁人重大的原始问题更容易解决。此时剩下的挑战就是把所有细小问题的谜底重新组合起来,这一步的难度往往会大一些,但至少不会像原始问题那么难。

因此,微积分可分为两个步骤:切分和重组。用数学术语来说,切分历程总是涉及无限精致的减法运算,用于量化各部门之间的差异,这个部门叫作微分学。重组历程则总是涉及无限的加法运算,将各个部门整合成原来的整体,这个部门叫作积分学。

这种计谋可用于我们能够想象的做无尽切分的所有事物,这类事物被称作延续体,听说它们是延续的。好比,正圆的边缘,悬索桥上的钢梁,餐桌上逐渐冷却的一碗汤,航行中标枪的抛物线轨迹,或者你在世的时光。形状、物体、液体、运动和时间距离等都是微积分的应用工具,它们所有或者险些都是延续的。

请注意这个缔造性假设背后的真相。汤和钢铁实际上并不延续,只管在一样平常生涯的尺度上它们看起来是延续的,但在原子或超弦尺度上并非云云。微积分忽略了原子和其他不能切分实体造成的未便,这不是由于它们不存在,而是由于冒充它们不存在会大有辅助。正如我们将在后文中看到的那样,微积分偏好有用的虚构。

更广泛地说,被微积分建模为延续体的实体类型,包罗了我们能想到的险些所有器械。微积分可以形貌球若何不间断地滚下斜坡,光束若何在水中延续地流传,蜂鸟的同党或飞机机翼周围的延续气流若何使它们在空中航行,以及患者最先接纳药物团结疗法后,他血液中的HIV(人体免疫缺陷病毒)颗粒浓度在接下来的日子里若何连续下降。在每种情形下,微积分接纳的计谋都一样:先把一个重大而延续的问题切分成无限多个简朴的部门,然后划分求解,最后把效果组合在一起。

现在,我们终于可以说明这个伟大的理念了。

无限原则

为了探讨随便一个延续的形状、物体、运动、历程或征象(不管它看起来有何等狂野和重大),把它重新想象成由无限多个简朴部门组成的事物,剖析这些部门,然后把效果加在一起, 就能明白最初的谁人整体。

石巨人与无限

这一切的难点就在于,我们需要和无限打交道,这件事说起来容易做起来难。虽然郑重而有限制地行使无限是微积分的窍门和它壮大的展望能力的泉源,但无限也是微积分中最令人头疼的问题。就像《科学怪人》中的怪物或者犹太民间传说中的石巨人一样,无限往往会挣脱主人的控制。就像所有显示人类狂妄自大的故事一样,怪物不能避免地会攻击缔造出它们的人。

微积分的缔造者意识到了这种危险,但仍然发现无限的魅力不能抗拒。固然,它偶然也会发狂,带来悖论、疑心和哲学灾难。不外,数学家每次都能乐成地征服无限怪物,理顺它的行为,让它重回正轨。最终,一切总会变好;微积分给出了准确谜底,有时刻就连它的缔造者也无法注释其中的缘故原由。驾驭无限并行使它的气力,这种欲望是一条贯串微积分的2500年历史的叙事线索。

由于人们经常把数学刻画成正确和绝对理性的学科,以是这些关于欲望和疑心的讨论似乎不太适当。数学是理性的,但它一最先并非云云。缔造力是直觉的产物,而理性则姗姗来迟。相比其他数学学科,在微积分的故事中,逻辑落伍于直觉的情形更多。这让微积分显得尤其平易近人,那些研究微积分的天才看起来也和凡人差不多。

曲线、运动和转变

无限原则围绕着方式论主题构建了微积分的故事。但微积分既与方式论有关,也与谜题有关。最主要的是,有三个谜题促进了微积分的生长,它们划分是曲线之谜、运动之谜和转变之谜。

围绕这些谜题的丰硕研究成果,证实了纯粹好奇心的价值。关于曲线、运动和转变的谜题乍看上去可能并不主要,甚至还深奥到令人绝望;但由于它们涉及丰富多彩的观点性问题,再加上数学与宇宙的结构有着密不能分的联系,以是这些谜题的解决方案对文明的历程和我们的一样平常生涯发生了深远的影响。我们将在接下来的章节中看到,无论是在手机上听音乐,在超市激光扫描仪的辅助下轻松结账走人,照样行使GPS装备找到回家的路,我们都是在收获这些研究带来的利益。

一切都始于曲线之谜。在这里,曲线的寄义异常宽泛,指任何形式的曲线、曲面或曲面体,好比橡皮筋、结婚戒指、漂浮的气泡、花瓶的轮廓或者一根意大利香肠。为了让物体尽可能地简朴,早期的几何学家通常只专注于探讨它们的抽象、理想的曲线形状,而忽略它们的厚度、粗糙度和织构。好比,数学中的球面被想象成一张无限薄且滑腻的正圆形膜,而不是像椰子壳那样有厚度、凹凸不平和毛茸茸的形状。纵然在这些理想化的假设条件下,曲线形状也会带来令人疑心的观点性难题,由于它们并非由平直的部件组成。三角形和正方形很容易明白,立方体也一样,它们都是由直线、平面和几个角毗邻在一起组成的。盘算它们的周长、表面积或体积,也不是一件难事。不管是在古巴比伦、古埃及、古代中国和古印度,照样在古希腊和古代日本,全天下的几何学家都知道若何解决这些问题。然则,圆形物体则很棘手。没有人能算出一个球体的表面积或体积有多大,纵然是求圆的周长和面积,在古代也是一个难题。人们既不知道该从那边着手,也找不到便于明白的平直部件。总之,所有弯曲的器械都难以捉摸。

微积分就是在这样的靠山下降生的,它萌生于几何学家对圆度的好奇心和挫败感。圆、球体和其他曲线形状是他们谁人时代的“喜马拉雅山脉”,这并不是说它们造成了什么重大的实际问题(至少一最先不是),而是说它们激发了人类的冒险精神。就像攀缘珠穆朗玛峰的探险家一样,几何学家之以是想解决曲线问题,是由于它们就在那里。

有些几何学家坚持以为“曲线事实上是由平直部件组成的”,这种看法带来了突破性希望。只管这不是事实,但我们可以冒充它是真的。那么,唯一的问题就在于,这些部件必须无限小,而且数目无限多。通过这个巧妙的构想,积分学降生了,这是人们对无限原则的最早应用。我们会用几个章节的篇幅来先容无限原则的生长历程,不外它的本质早在萌芽期就简朴直观地展现出来了:若是我们让显微镜的镜头一直靠近圆(或其他任何弯曲且滑腻的物体),可观测到的那部门曲线看上去就会变得平直。以是,通过加总所有平直的小部件来盘算我们想要的曲线形状的相关信息,至少在原则上是可行的。多个世纪以来,天下上最伟大的数学家都在起劲探讨这个难题的解决办法。不外,通过配合的起劲(有时还伴有猛烈的竞争),他们终于在破解曲线之谜上取得了希望。我们将会在第2章中看到,今天与其相关的副产品包罗:电脑动画影戏中用来绘制真切的人物头发、服装和面部的数学工具,以及医生在给真正的患者做面部手术之前,先给虚拟患者做手术时用到的盘算工具。

当人们清晰地熟悉到曲线不只是几何变换的效果时,对曲线之谜的探索达到了狂热的水平。曲线是破解大自然隐秘的钥匙,它们自然而然地泛起在航行球的抛物线轨迹中,也泛起在火星围绕太阳旋转的椭圆轨道中。此外,在欧洲文艺复兴后期显微镜和望远镜蓬勃生长之时,曲线还泛起在可凭据需要弯曲和聚焦光线的凸透镜中。

于是,人们最先解决第二大谜题,也就是地球上和太阳系中的运动之谜。通过考察和巧妙的实验,科学家在最简朴的运动物体中发现了迷人的数值模式。他们测量了钟摆的摆动,记录了球滚下斜坡的加速下降历程,还绘制了行星在天空中的运行轨迹。这些模式之以是让发现者欣喜若狂(这是真的,当约翰尼斯·开普勒发现了行星运动定律时,他自称陷入了“神明附体的狂热”状态),是由于它们似乎解释一切都出自天主之手。从更世俗的角度看,这些模式强化了大自然具有深挚的数学基本的主张,就像毕达哥拉斯学派一直坚称的那样。唯一的问题是,没有人能注释这些难以想象的新模式,或者至少无法用已有的数学知识来注释它们,纵然是那时最伟大的数学家也无法用算术和几何来完成这项义务。问题在于,运动是不稳定的。在滚下斜坡的历程中,球的运动速率一直在变;在围绕太阳旋转的历程中,行星的运动偏向也一直在变。更糟糕的是,当靠近太阳时行星的运动速率更快,而当远离太阳时它们的运动速率减慢。那时,人们并不知道该若那边置这种以一直转变的方式一直改变的运动。早期的数学家已经得出了形貌最简朴运动——匀速运动——的数学公式,即距离即是速率乘以时间。然则,当速率改变而且是连续一直地改变时,一切都变得不确定了。事实证实,运动跟曲线一样,也是一座观点上的珠穆朗玛峰。

我们将在本书的中心章节里看到,微积分的下一次重大提高源于对运动之谜的探索。就像在破解曲线之谜时一样,无限原则再次自告奋勇。这一次,我们的缔造性假设是,速率一直转变的运动是由无限多个无限短暂的匀速运动组成的。为了直观地说明这句话的意思,想象一下你正坐在一辆由新手司机驾驶的汽车里,车速忽快忽慢。你重要地盯着车速里程表,它的指针随着汽车的每一次颠簸而上下移动。但在1毫秒(0.001 秒)内,即便是驾车手艺最差的人也无法让车速里程表的指针大幅移动。那么,在比1毫秒短得多的时间距离(无限小的时间距离)内, 指针基本不会移动,由于没人能那么快地踩油门。

这些想法配合组成了微积分的前半部门——微分学。它不仅是在研究一直转变的运动时处置无限小的时间和距离转变所需的理论,也是在解析几何(主要研究由代数方程界说的曲线,在17世纪上半叶风靡一时)中处置无限小的曲线平直部件所需的理论。简直,代数曾一度令人疯狂。它的普及对包罗几何学在内的所有数学领域来说都是一大福祉,但它也缔造出诸多难以驾驭的新曲线,有待人们去探索。17世纪中期,位于微积分舞台中央的曲线之谜和运动之谜相互撞击,在数学界引发了杂乱和疑心。走出喧嚣之后,微分学渐趋成熟,但仍有争议。有些数学家由于草率地行使无限而受到指斥,有些数学家则冷笑代数就是一堆符号的拼接。在这样的争吵声中,微积分的生长时断时续,异常缓慢。

之后,有一个孩子在圣诞节那天出生了。这个微积分的拯救者年幼时看起来完全不像一个英雄:他是一名早产儿,没有父亲,3岁时又被母亲遗弃了。想法消沉的孤寂男孩就这样长成了沉默寡言、怀疑心重的年轻人,不外,名叫艾萨克·牛顿的他日后会在天下上留下空前绝后的印记。

他先是解决了微积分的“圣杯”问题,发现了将曲线的各个部件重新组合起来的方式,而且是简朴、快速和系统性的方式。通过把代数的符号与无限的气力结合起来,他找到了一种方式,可以把任何曲线都示意成无限多条简朴曲线的和。

之后,他破解了宇宙密码。牛顿发现,任何类型的运动都可以剖析为每次移动一个无限小步,而且每个时刻的转变都遵照用微积分语言表述的数学定律。他仅用几个微分方程(他的运动和万有引力定律),就能注释包罗炮弹的航行轨迹和行星的运行轨道在内的所有征象。牛顿的惊人的“天下系统”统一了天和地,掀起了启蒙运动,改变了西方文化,对欧洲的哲学家和诗人发生了伟大的影响。他甚至影响了托马斯·杰斐逊和《自力宣言》的起草。在我们的时代,当NASA(美国国家航空航天局)的非裔美国数学家凯瑟琳·约翰逊及其同事(小说和热门影戏《隐藏人物》中的女主人公)设计宇宙飞船的航行轨道时,牛顿的头脑为她们提供了需要的数学盘算方式,从而牢固了太空设计的基础。

在破解了曲线之谜和运动之谜后,微积分转向了它的第三个由来已久的谜题——转变之谜。永恒不变的唯有改变,只管这句话是老生常谈,但它依然是真理。好比,今天是雨天,明天是晴天;今天股票市场上涨,明天股票市场下跌。受到牛顿范式的激励,厥后的微积分研究者提出了一些问题:是否存在类似于牛顿运动定律的转变纪律?有没有适用于人口增长、流行病流传和动脉中血液流动的定律?微积分可用于形貌电信号沿神经纤维传导的方式,或者展望公路上的交通流量吗?

在执行这项远大设计的历程中,微积分一直在与其他科技领域互助,为实现天下的现代化做出了孝敬。通过考察和实验,科学家得出了转变定律,然后行使微积分求解并做出展望。好比,1917年,阿尔伯特·爱因斯坦将微积分应用于一个简朴的原子跃迁模子,从而展望出一种被称为受激发射的神奇效应。他对这种效应举行了理论论述:在某些情形下,穿过物质的光能激发出更多波长相同和流传偏向相同的光,并通过一种连锁反应发生大量的光,形成强烈的相关光束。几十年后,这个展望被证实是准确的。第一台可运行的激光器在20世纪60年代初建成,从那时起,光盘播放机、激光制导武器、超市的条形码扫描仪和医用激光器等装备都离不开激光。

转变定律在医学领域并不像在物理学领域那样为人熟知。然而,即便被应用于基本模子,微积分也能对拯救生命做出孝敬。好比,我们在第8章会看到一个由免疫学家和艾滋病研究者确立的微分方程模子,在针对HIV熏染者的现代三联疗法的形成历程中起到了什么作用。这个模子提供的看法推翻了“病毒在人体内处于休眠状态”的主流看法;事实上,病毒时时刻刻都在与人体免疫系统举行着猛烈的战斗。在微积分提供的这种新熟悉的辅助下,至少对那些有机遇接纳团结疗法的人来说,HIV熏染已经从险些被判了死刑的疾病转变为可控制的慢性疾病。

不能否认的是,我们身处一个一直转变的天下之中,它的某些方面超出了无限原则固有的近似性和出自主观愿望的想法。好比,在亚原子领域,物理学家不能再把电子想象成像行星或炮弹那样沿滑腻路径运动的经典粒子。凭据量子力学,在微观尺度上,电子的运动轨迹会发生发抖,变得模糊不清和难以确定,以是我们需要将电子的行为形貌成概率波,它不再遵照牛顿运动定律。然而,在我们做了这样的处置后,微积分又一次胜利归来,它通过薛定谔方程形貌了概率波的演化历程。

只管这令人难以置信,但它却是事实:纵然在牛顿的物理学行不通的亚原子领域,他的微积分也依然有用。事实上,它的显示相当精彩。我们将在后文中看到,微积分与量子力学配合展望出医学成像的显著效果,为MRI(磁共振成像)、CT(盘算机断层成像)扫描和加倍神奇的PET(正电子发射断层成像)奠基了基础。

现在是时刻去更深入地领会宇宙的语言了,固然,我们这趟旅程的起点是“无限”站。

《微积分的气力》,[美]史蒂夫·斯托加茨著,任烨译,鹦鹉螺·中信出书团体2021年1月。

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